CRITERIOS DE DERIVADA,Y PUNTOS CRÍTICOS...

PUNTOS CRÍTICOS, Y CRITERIOS DE DERIVADA.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

TEOREMA VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c)puede clasificarse como sigue."

1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (cf. (c)).

2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (cf. (c)).

3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemáticoen el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0, f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0, f(c) debe ser un máximo relativo de f.

TEOREMA

Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c

1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (cf. (c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (cf. (c)).

Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (cf. (c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada

PUNTOS CRITICOS DE MAXIMOS, MINIMOS E INFLEXION

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en asi, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:

1. Por la definición en un entorno del punto.
2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
1. f decreciente en (a, c) y creciente en (c, b) posee un mínimo en (cf. (c)).
2. f creciente en (a, c) y decreciente en (c, b) posee un máximo en (cf. (c)).

EJEMPLOS

4. Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
1. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
2. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.

PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto I(a, f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.

PROPOSICIÓN.

Sea f dos veces derivable en a.

Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

Demostración:
Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.

Derivación Implícita.

Derivada implícita.

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y  por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.

Derivada en Cadena.

·         NOTA:

·         Al derivar una función compuesta es muy importante identificar cual es la función 1º y 2º

·         Otra forma de expresar la regla de la cadena es utilizando la notación diferencial inventada por G.W. Leibniz. 

USO DE LA REGLA DE LA CADENA

PROBLEMA

Ejemplo 2:

DERIVADA PRIMEROS TEOREMAS..

primeros teoremas.

APLICACIONES ENTODAS PARTES LA DERIVADA

Derivada de una función constante:

Esta propiedad establece que la DERIVADA es una constante es igual a CERO.

Derivada  de una función exponencial:

Esta propiedad dice que la derivad de una potencia  es igual al exponente (n) por la base (x) elevada a la n-1 .

Derivada de un producto de funciones:

Eta propieda establece que la derivada de un producto de funciones es igual a la primera función  por la derivada de la segunda  MAS la segunda por la derivada  de la primera.

DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES:

Esta propiedad establece que la derivada de un conciente de función es igual al denominador por la derivada del numerador MENOS el numerador por la derivada del denominador dividido todo por el cuadrado del denominador.

DERIVADA DE UNA RAIZ:

La derivada de una raíz es elevar el número radical a  ½ para poder trabajar:

Optimización 2

Problema dos de optimización de funciones

Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m³ , su altura 1 m y el coste de su construcción por m² es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.

Ejercicio OPTIMIZACIÓN.

EJERCICIO DE OPTIMIZACIÓN.

CRONOGRAMA DE TRABAJO

BIENVENIDOS

 SOLUCÓN AL PROBLEMA DE LA LATA